Uppgift 1

a) $$\frac{x(\sin x-\arctan x)}{\ln(1+x^4)} =\frac{x(x-\frac{x^3}{6}+x^5B_1(x)-x+\frac{x^3}{3}+x^5B_2(x))}{x^4+x^8B_3(x)} =\frac{\frac{x^4}{6}+x^6B_4(x)}{x^4+x^8B_3(x)} =\frac{\frac16+x^2B_4(x)}{1+x^4B_3(x)}\to\frac16$$
då $x\to0$, där $B_i(x)$, $i=1,2,3,4$ är begränsade i en omgivning av $x=0$.

b) $$n(2^{1/n}-1)=[t=1/n]=\frac{2^t-1}{t}=\frac{e^{t\ln2}-1}{t}=[x=t\ln2]=\ln2\cdot\frac{e^x-1}{x}\to\ln2$$
då $x\to0$, enligt standardgränsvärdet $\lim_{x\to0}(e^x-1)/x=1$ (märk att $t\to0$ och $x\to0$ då $n\to\infty$).