Uppgift 2

$f(x)=\frac{x^2}{\lvert x-1\rvert}=\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac1{x-1}$, om $x>1$ och $f(x)=\frac{x^2}{\lvert x-1\rvert}=\frac{x^2}{1-x}=-x-1-\frac1{x-1}$, om $x<1$. Här ser man att $y=x+1$ är en asymptot då $x\to\infty$ och $y=-x-1$ är en asymptot då $x\to-\infty$ (ty $1/(x-1)\to0$ då $x\to\pm\infty$). Dessutom finns den lodräta asymptoten $x=1$, eftersom $\lvert f(x)\rvert\to\infty$ då $x\to1$.

Derivering ger $f'(x)=1-\frac1{(x-1)^2}$ om $x>1$ och $f'(x)=-1+\frac1{(x-1)^2}$ om $x<1$. Stationära punkter ges i båda fallen av $(x-1)^2=1$, med lösningarna $x=0$ och $x=2$. Teckenstudium av derivatan ger att $f'(x)>0$ om $0<x<1$ eller om $x>2$ och att $f'(x)<0$ om $x<0$ eller om $1<x<2$. Alltså har funktionen lokala minimipunkter i $(0,0)$ och i $(2,4)$.

Ytterligare en derivering ger $f''(x)=\frac2{(x-1)^3}$ om $x>1$ och $f''(x)=-\frac2{(x-1)^3}$ om $x<1$. Alltså är $f''(x)>0$ för alla $x\ne1$. Funktionen är konvex på intervallet $x<1$ och konvex på intervallet $x>1$.