Hela analys · 2011-08-19
Låt $a$ vara ett godtyckligt reellt tal. Bestäm ekvationen för den räta linje som tangerar kurvan $y=x^2$ i punkten $(a,a^2)$.
Bestäm $a$ så att linjen som tangerar kurvan $y=x^2$ i punkten $(a,a^2)$ också tangerar kurvan $y=x^2-4x+6$.
a) Tangentens riktningskoefficient är $y'(a)=2a$. Tangentens ekvation är $y-a^2=2a(x-a)$, $y=2ax-a^2$.
b) Om linjen $y=2ax-a^2$ tangerar $y=x^2-4x+6$ då $x=b$ så måste $y'(b)=2b-4=2a$, vilket ger $2a=2b-4$, $b=a+2$. Motsvarande $y$-värde på $y=x^2-4x+6$ är $y=(a+2)^2-4(a+2)+6=a^2+2$. Den gemensamma tangenten går genom punkterna $(a,a^2)$ och $(a+2,a^2+2)$ och har alltså riktningskoefficient $k=\frac{a^2+2-a^2}{a+2-a}=1$. Alltså är $2a=1$ och $a=\frac12$.