Uppgift 4

a) $y'+y=x$. Integrerande faktor är $e^x$: $y'e^x+ye^x=xe^x$, $ye^x=\int xe^x\,dx=xe^x-e^x+C$, $y=x-1+Ce^{-x}$. Villkoret $y(0)=0$ ger $0=-1+C$, $C=1$ och $y=x-1+e^{-x}$.

b) $y''+y=x^2$. Karakteristiska ekvationen $r^2+1=0$ har lösningen $r=\pm i$, så homogena lösningen $y_h=C_1\sin x+C_2\cos x$. En partikulärlösning $y_p=ax^2+bx+c$ ansätts som ger $y_p''=2a$. Villkoret $y_p''+y_p=x^2$ ger $2a+ax^2+bx+c=x^2$ med lösningen $a=1$, $b=0$, $c=-2$, så $y_p=x^2-2$ och allmänna lösningen är $y=y_p+y_h=x^2-2+C_1\sin x+C_2\cos x$. Villkoret $y(0)=0$ ger $0=-2+C_2$, $C_2=2$. Derivering ger $y'=2x+C_1\cos x-C_2\sin x$ och villkoret $y'(0)=0$ ger $C_1=0$. Alltså är $y=x^2-2+2\cos x$.