Uppgift 5

$f(x,y)=2xy-x^2-2x-2y$. Stationära punkter i det inre söks: $f_x'(x,y)=2y-2x-2$, $f_y'(x,y)=2x-2$. Systemet $f_x'=f_y'=0$ har lösningen $(x,y)=(1,2)$ (som ligger i den givna triangeln) och $f(1,2)=-3$.

Randen undersöks:

1. $x=0$, $0\le y\le4$. $f(0,y)=-2y$, som har derivatan $-2$ som aldrig är $0$.

2. $x=y=t$, $0\le t\le4$. $f(t,t)=2t^2-t^2-2t-2t=t^2-4t$, som har derivatan $2t-4$ som är $0$ för $t=2$. $f(2,2)=4-8=-4$.

3. $y=4$, $0\le x\le4$. $f(x,4)=8x-x^2-2x-8=-x^2+6x-8$, som har derivatan $-2x+6$ som är $0$ för $x=3$. $f(3,4)=24-9-6-8=1$.

4. $f(0,0)=0$, $f(0,4)=-8$, $f(4,4)=0$.

Jämförelse av funktionsvärdena i dessa kritiska punkter ger att största värdet är $1$ och minsta värdet är $-8$.