Uppgift 1

a) $(1+2x)^{1/\sin x}=e^{\ln(1+2x)/\sin x}$. Eftersom
$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2x)}{\sin x}=[\text{l'Hospitals regel}]=\lim_{x\to0}\frac{2/(1+2x)}{\cos x}=2,$$
är det sökta gränsvärdet lika med $e^2$.

Gränsvärdet för $\ln(1+2x)/\sin x$ kan man även beräkna genom att skriva om uttrycket som $2\cdot\frac{\ln(1+2x)}{2x}\cdot\frac x{\sin x}$ och använda standardgränsvärden, eller genom att Maclaurinutveckla.

b) $\ln(1+x)=x-x^2/2+O(x^3)$, $\arctan x=x+O(x^3)$.

Så $x^2(\ln(1+x)-\arctan x)^2=x^2(-x^2/2+O(x^3))^2=x^2(x^4/4+O(x^5))=x^6/4+O(x^7)$.

$\sin t=t-t^3/6+O(t^5)$, så om vi sätter $t=x^2$, får vi $\sin(x^2)=x^2-x^6/6+O(x^{10})$ och $\sin(x^2)-x^2=-x^6/6+O(x^{10})$. Nu kan vi beräkna gränsvärdet:
$$\frac{x^2(\ln(1+x)-\arctan x)^2}{\sin(x^2)-x^2}=\frac{x^6/4+O(x^7)}{-x^6/6+O(x^{10})}=\frac{1/4+O(x)}{-1/6+O(x^4)}\to\frac{1/4}{-1/6}=-\frac32\text{ då }x\to0.$$