Uppgift 2

a) Den karakteristiska ekvationen $r^2+2r+10=0$ har rötterna $r_{1,2}=-1\pm3i$, så $y_h=e^{-x}(D_1\cos3x+D_2\sin3x)$.

Ansatsen $y_p=A+Be^x+Ce^{2x}$ ger $y_p'=Be^x+2Ce^{2x}$, $y_p''=Be^x+4Ce^{2x}$ och $y_p''+2y_p'+10y_p=10A+13Be^x+18Ce^{2x}$. Så $A=1/10$, $B=1/13$ och $C=1/18$. Alltså är
$$y=e^{-x}(D_1\cos3x+D_2\sin3x)+\frac1{10}+\frac1{13}e^x+\frac1{18}e^{2x}.$$
b) En uppenbar lösning är $y=0$, och den satisfierar villkoret $y(0)=0$. Så det här är den andra av de sökta lösningarna.

Låt nu $y\ne0$. Då kan vi separera variablerna och vi får $y^{-2}y'=x/(1+x^2)$, vilket kan skrivas om som $y^{-2}\,dy=(x/(1+x^2))\,dx$. Integration ger $-y^{-1}=\frac12\ln(1+x^2)+C$ (att en primitiv funktion till $x/(1+x^2)$ är $\frac12\ln(1+x^2)$ inser man antingen direkt eller får fram det genom att substituera $t=1+x^2$). Insättning av $y(0)=1$ ger $-1=\frac12\ln1+C$, så $C=-1$, $y^{-1}=1-\frac12\ln(1+x^2)$, och slutligen är $y=\frac1{1-\frac12\ln(1+x^2)}$.