Uppgift 3

För $x>0$ är $f(x)=2\sqrt x-x+1$, $f'(x)=1/\sqrt x-1=x^{-1/2}-1$, $f''(x)=-\frac12x^{-3/2}$ och för $x<0$ är $f(x)=2\sqrt{-x}-x+1$, $f'(x)=-1/\sqrt{-x}-1=-(-x)^{-1/2}-1$, $f''(x)=-\frac12(-x)^{-3/2}$.

(Observera att $\lvert x\rvert\ge0$, så $f$ är definierad för alla $x$.)

Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&0&&1&\\\hline f'&-&\text{ej def.}&+&0&-\\f&\searrow&&\nearrow&&\searrow\end{array}$$
Det framgår av tabellen att $f$ har ett lokalt minimum då $x=0$ och ett lokalt maximum då $x=1$.

Konvexitet. Teckentabell för $f''$:
$$\begin{array}{c|ccc}x&&0&\\\hline f''&-&\text{ej def.}&-\\f&\text{konkav}&&\text{konkav}\end{array}$$
Asymptoter. Eftersom $f$ är kontinuerlig för alla $x$, finns det inga lodräta asymptoter.
$$a=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2\sqrt{\lvert x\rvert}-x+1}x=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{2\sqrt{\lvert x\rvert}}x-1+\frac1x\right)=-1.$$
$$b=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)+x)=\lim_{x\to\pm\infty}(2\sqrt{\lvert x\rvert}+1)=+\infty.$$
Eftersom gränsvärdet inte är ändligt, finns det ingen sned asymptot.

Grafen (till höger grafens förstoring nära lokala maximi- och minimipunkter):