Hela analys · 2011-12-20
Bestäm stationära punkter för funktionen $f(x,y)=\frac{x^2+y}{1+xy}$ (glöm inte att kolla om $f$ är definierad i den/de punkter du har fått).
Bestäm ekvationen för tangentplanet till ytan $z=\frac{x^2+y}{1+xy}$ i den punkt på ytan där $x=0$, $y=2$. Bestäm även ekvationen för tangentplanet i den punkt på ytan där $x=1$, $y=2$.
a) $f_x'(x,y)=\frac{2x+x^2y-y^2}{(1+xy)^2}$, $f_y'(x,y)=\frac{1-x^3}{(1+xy)^2}$. $f_x'=f_y'=0$ då $2x+x^2y-y^2=0$ och $x^3=1$. Den andra ekvationen ger $x=1$, vilket insatt i den första ger $y^2-y-2=0$. Vi får $(x,y)=(1,2)$ och $(x,y)=(1,-1)$. Den första punkten är stationär men inte den andra eftersom $f$ inte är definierad i den (nämnaren är noll).
b) Eftersom $f(0,2)=2$, $f_x'(0,2)=-4$ och $f_y'(0,2)=1$, är tangentplanets ekvation i den första punkten $z=2-4x+y-2$, och efter förenkling $z=-4x+y$. Eftersom $f(1,2)=1$ och $(1,2)$ är en stationär punkt, är tangentplanets ekvation i den andra punkten $z=1$.