Hela analys · 2012-01-13
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen $y''+y'-2y=\sin x$.
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen $y'+\frac1x y=\frac{1}{x^2}$. Bestäm sedan den lösning som satisfierar villkoret $y(1)=1$ och ange det största $x$-intervallet kring punkten $x=1$ i vilket lösnigen existerar.
a) Den karakteristiska ekvationen $r^2+r-2=0$ har rötterna $r_1=1$, $r_2=-2$, så $y_h=C_1e^x+C_2e^{-2x}$.
Ansatsen $y_p=A\cos x+B\sin x$ ger $y_p'=-A\sin x+B\cos x$, $y_p''=-A\cos x-B\sin x$ och $y_p''+y_p'-2y_p=(-3A+B)\cos x+(-A-3B)\sin x=\sin x$. Så $-3A+B=0$, $-A-3B=1$, vilket ger $A=-1/10$, $B=-3/10$ och
$$y=C_1e^x+C_2e^{-2x}-\frac1{10}\cos x-\frac3{10}\sin x.$$
b) Eftersom $\int\frac1x\,dx=\ln\lvert x\rvert$ (med integrationskonstanten satt till $0$), är ekvationens integrerande faktor $e^{\ln x}=x$. Vi får $xy'+y=1/x$, vilket kan skrivas om som $(xy)'=1/x$. Så $xy=\ln\lvert x\rvert+C$ och $y=(\ln\lvert x\rvert+C)/x$. $y(1)=1$ ger $C=1$ och $y=(\ln\lvert x\rvert+1)/x$.
Det största intervallet kring punkten $x=1$ i vilket lösningen existerar är $(0,\infty)$ och här behövs inget absolutbelopp, så $y=(\ln x+1)/x$.