Uppgift 3

$f'(x)=\frac{x^2-4x+5}{(x-2)^2}>0$ för alla $x\ne2$. Så inga lokala maxima eller minima existerar.
$$\begin{aligned} f''(x)&=\frac{(2x-4)(x-2)^2-2(x-2)(x^2-4x+5)}{(x-2)^4}\\ &=\frac{(2x-4)(x-2)-2(x^2-4x+5)}{(x-2)^3}=\frac{-2}{(x-2)^3}. \end{aligned}$$
Teckentabell för $f'$ och för $f''$:
$$\begin{array}{c|ccc}x&&2&\\\hline f'&+&\text{ej def.}&+\\f&\nearrow&&\nearrow\end{array} \qquad \begin{array}{c|ccc}x&&2&\\\hline f''&+&\text{ej def.}&-\\f&\text{konvex}&&\text{konkav}\end{array}$$
Asymptoter. $\lim_{x\to2^+}\frac{x^2-5}{x-2}=[-1/0^+]=-\infty$, $\lim_{x\to2^-}\frac{x^2-5}{x-2}=[-1/0^-]=\infty$. Så $x=2$ är lodrät asymptot (både från höger och från vänster).
$$a=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2-5}{x(x-2)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1-5/x^2}{1-2/x}=1.$$
$$b=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{x^2-5}{x-2}-x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x-5}{x-2}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2-5/x}{1-2/x}=2.$$
Det följer att $y=x+2$ är sned asymptot, både då $x\to\infty$ och då $x\to-\infty$.

Grafen: