Hela analys · 2012-01-13
Bestäm volymen av den kropp som bildas då skivan $0\le y\le\frac{2}{x^2}$, $x\ge2$, roterar kring $x$-axeln eller visa att volymen är oändlig.
Bestäm volymen av den kropp som bildas då skivan $0\le y\le\frac{x-\lvert x-2\rvert}{x^2}$, $x\ge1$, roterar kring $x$-axeln eller visa att volymen är oändlig.
a) $$V=\pi\int_2^\infty\frac4{x^4}\,dx=\pi\left[-\frac4{3x^3}\right]_2^\infty=\pi\lim_{X\to\infty}\left[-\frac4{3x^3}\right]_2^X=\pi\lim_{X\to\infty}\left(-\frac4{3X^3}+\frac16\right)=\frac\pi6.$$
b) Eftersom $\lvert x-2\rvert=x-2$ för $x\ge2$ och $2-x$ för $x<2$, är $\frac{x-\lvert x-2\rvert}{x^2}=\frac2{x^2}$ för $x\ge2$ och $\frac{2x-2}{x^2}$ för $x<2$. Alltså är
$$V=\pi\int_1^2\frac{(2x-2)^2}{x^4}\,dx+\pi\int_2^\infty\frac4{x^4}\,dx=V_1+V_2.$$
$$V_1=\pi\int_1^2\left(\frac4{x^2}-\frac8{x^3}+\frac4{x^4}\right)dx=\pi\left[-\frac4x+\frac4{x^2}-\frac4{3x^3}\right]_1^2=\frac\pi6.$$
$V_2=\pi/6$ enligt a). Så $V=\pi/6+\pi/6=\pi/3$.