Uppgift 5

$f_x'(x,y)=\frac{1-x^2+y^2}{(1+x^2+y^2)^2}$, $f_y'(x,y)=\frac{-2xy}{(1+x^2+y^2)^2}$. $f_x'=f_y'=0$ då $1-x^2+y^2=0$ och $xy=0$. Den andra ekvationen ger $x=0$ eller $y=0$. $x=0$ insatt i den första ekvationen ger $1+y^2=0$. Punkter med $y=0$ ligger på randen eller utanför mängden. Alltså finns inga inre stationära punkter.

Randundersökning. Sidan $y=0$, $-2<x<2$ parametriseras genom $h_1(t)=f(t,0)=t/(1+t^2)$, $-2<t<2$. $h_1'(t)=(1-t^2)/(1+t^2)^2=0$ då $t=\pm1$. Vi får $h_1(\pm1)=f(\pm1,0)=\pm1/2$.

Halvcirkeln $x^2+y^2=4$, $y\ge0$ parametriseras genom $h_2(t)=f(2\cos t,2\sin t)=(2\cos t)/5$, $0\le t\le\pi$. Det är klart att största och minsta värdet här är $2/5$ respektive $-2/5$. Observera att $t=0$, $t=\pi$ svarar mot områdets hörnpunkter, så de behöver inte undersökas separat. Eftersom $2/5<1/2$, är funktionens största värde i området $1/2$ och minsta värdet är $-1/2$.

Anmärkning. Uppgiften kan lösas helt med endimensionella metoder. Området uttryckt i polära koordinater är $\{(x,y)\mid x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ 0\le r\le2,\ 0\le\theta\le\pi\}$. Eftersom $f(r\cos\theta,r\sin\theta)=(r\cos\theta)/(1+r^2)$, är $f$:s största och minsta värde för varje $r$ lika med $r/(1+r^2)$ respektive $-r/(1+r^2)$. Nu återstår att finna största värdet för $r/(1+r^2)$, $0\le r\le2$.