Uppgift 6
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D(x+y)\,dx\,dy$, där $D$ är triangeln med hörn i $(0,0)$, $(2,2)$ och $(2,-2)$.
Hela analys · 2012-01-13
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
Området beskrivs av olikheterna $-x\le y\le x$, $0\le x\le2$ (rita en figur). Så
$$\begin{aligned}
\iint_D(x+y)\,dx\,dy
&=\int_0^2\left(\int_{-x}^x(x+y)\,dy\right)dx
=\int_0^2\left[xy+\frac{y^2}2\right]_{y=-x}^{y=x}dx\\
&=\int_0^22x^2\,dx=\left[\frac23x^3\right]_0^2=\frac{16}3.
\end{aligned}$$