Uppgift 1

1. (i) Vi rationaliserar:
   $$ \sqrt{n+n^2}-n = \frac{n}{\sqrt{n+n^2}+n} = \frac{1}{\sqrt{1+1/n}+1} \longrightarrow \frac{1}{2}. $$

(ii) Maclaurinutvecklingarna ger
$$ \ln(1+t)=t+O(t^2),\qquad \sin t=t+O(t^3). $$
Därmed är
$$ \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)=\frac{\pi x}{2}+O(x^3) $$
och
$$ \ln\left(1+\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)=\frac{\pi x}{2}+O(x^2). $$
Alltså
$$ \lim_{x\to0}\frac{(x^2-1)\sin x}{\ln\left(1+\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)} =\lim_{x\to0}\frac{-x+O(x^2)}{\frac{\pi}{2}x+O(x^2)} =-\frac{2}{\pi}. $$