Uppgift 3

3. Funktionen är kontinuerlig utom vid $x=-1$, där den inte är definierad. Vidare gäller
   $$ \lim_{x\to-1^+}f(x)=\infty,\qquad \lim_{x\to-1^-}f(x)=-\infty, $$
   så $x=-1$ är en lodrät asymptot. Eftersom
   $$ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0 $$
   är $x$-axeln en vågrät asymptot. Dessutom är $f(x)/x\to0$ då $x\to\pm\infty$, så det finns inga sneda asymptoter.

Derivering ger
$$ f'(x)=\frac{2x}{(x+1)^3}-\frac{3x^2}{(x+1)^4}=-\frac{x(x-2)}{(x+1)^4}. $$
Derivatan är negativ på $(-\infty,-1)$ och $(-1,0)$, positiv på $(0,2)$ och negativ på $(2,\infty)$. Alltså har funktionen en lokal minpunkt $(0,0)$ och en lokal maxpunkt $\left(2,\frac{4}{27}\right)$. Något globalt största eller minsta värde finns inte.

En andra derivering ger
$$ f''(x)=\frac{2(x^2-4x+1)}{(x+1)^5}. $$
Nollställena till täljaren är $2-\sqrt{3}$ och $2+\sqrt{3}$. Funktionen är konkav på $(-\infty,-1)$ och $(2-\sqrt{3},2+\sqrt{3})$, samt konvex på $(-1,2-\sqrt{3})$ och $(2+\sqrt{3},\infty)$. Inflexionspunkterna har $x$-koordinaterna $2-\sqrt{3}$ och $2+\sqrt{3}$.