Uppgift 4

4. a) Differentialekvationen är separabel:
   $$ (1+\sin x)y'=(y^2+1)\cos x \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{dy}{1+y^2}=\frac{\cos x}{1+\sin x}\,dx. $$
   Integrering ger
   $$ \arctan y=\ln(1+\sin x)+C. $$
   Villkoret $y(0)=1$ ger $C=\pi/4$. Alltså
   $$ y=\tan\left(\ln(1+\sin x)+\frac{\pi}{4}\right). $$

b) Det karakteristiska polynomet är
$$ r^2-2r-3=0, $$
med rötterna $r=-1$ och $r=3$. Den homogena lösningen är därför
$$ y_h=Ae^{-x}+Be^{3x}. $$
Sätt $y=ze^x$. Då är
$$ y'=(z'+z)e^x,\qquad y''=(z''+2z'+z)e^x, $$
och insättning ger
$$ z''-4z=2x. $$
Med ansatsen $z=Cx+D$ fås $C=-1/2$ och $D=0$, alltså $y_p=-xe^x/2$. Den allmänna lösningen är
$$ y=Ae^{-x}+Be^{3x}-\frac{xe^x}{2}. $$