Uppgift 5
Bestäm största och minsta värde till funktionen $f(x,y)=\sin x+\sin y-\sin(x+y)$ i det område som begränsas av $x+y=2\pi$, och $x$- respektive $y$-axeln.
Hela analys · 2012-05-12
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
- För en inre stationär punkt måste
$$ \nabla f(x,y)=(\cos x-\cos(x+y),\cos y-\cos(x+y))=(0,0). $$
Alltså är $\cos x=\cos y=\cos(x+y)$. I områdets inre ger detta
$$ 2\cos^2x-1=\cos x, $$
så den enda inre stationära punkten är
$$ (x,y)=\left(\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right). $$
Där är
$$ f\left(\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}. $$
På randen gäller $f(0,y)=0$, $f(x,0)=0$ och $f(x,2\pi-x)=0$. Funktionens största värde är alltså $3\sqrt{3}/2$ och dess minsta värde är $0$.