Uppgift 6
Definiera funktionen $f(x,y)=e^{x^2+y^2}$ på området
$$D=\{(x,y)\mid y\ge\lvert x\rvert,\ x^2+y^2\le1\}.$$
Beräkna volymen till den kropp som ligger mellan ytan $z=f(x,y)$ och $xy$-planet.
Hela analys · 2012-05-12
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
- Volymen är
$$ V=\iint_D e^{x^2+y^2}\,dx\,dy. $$
Med variabelbytet $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ blir området
$$ 0\leq r\leq1,\qquad \frac{\pi}{4}\leq\theta\leq\frac{3\pi}{4}. $$
Alltså
$$ V=\int_0^1 e^{r^2}r\,dr\int_{\pi/4}^{3\pi/4}d\theta =\frac{\pi(e-1)}{4}. $$