Uppgift 1
(i) Beräkna gränsvärdet $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^n$.
(ii) Beräkna gränsvärdet $\lim_{x\to0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{\sin(\arctan x)-\ln(1+x)}$.
Hela analys · 2012-05-30
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
- (i) Vi skriver
$$ \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^n =\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n =\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\frac{1}{1+1/(n+1)} \longrightarrow e. $$
(ii) Maclaurinutvecklingarna ger
$$
e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3),\qquad
e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2}+O(x^3),
$$
$$
\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+O(x^3),\qquad
\sin(\arctan x)=x+O(x^3).
$$
Alltså
$$
\lim_{x\to0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{\sin(\arctan x)-\ln(1+x)}
=\lim_{x\to0}\frac{x^2+O(x^3)}{x^2/2+O(x^3)}=2.
$$