Uppgift 2
För vilka reella tal på parametrarna $p,q$ tangerar kurvan $y=x^3+px+q$ $x$-axeln?
Hela analys · 2012-05-30
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
- Derivering ger
$$ y'=3x^2+p. $$
För $p\leq0$ har derivatan nollställena
$$ x_\pm=\pm\sqrt{-\frac{p}{3}}. $$
Kurvan tangerar $x$-axeln precis när ett sådant nollställe också är ett nollställe till $y$, alltså när
$$ -q=x_\pm^3+px_\pm=x_\pm(x_\pm^2+p). $$
Kvadrering ger
$$ q^2=x_\pm^2(x_\pm^2+p)^2 =-\frac{p}{3}\left(-\frac{p}{3}+p\right)^2, $$
vilket är ekvivalent med
$$ \left(\frac{p}{3}\right)^3+\left(\frac{q}{2}\right)^2=0. $$
Detta är det sökta villkoret på $p$ och $q$.