Uppgift 3

3. Funktionen är kontinuerlig och oändligt många gånger deriverbar överallt. Eftersom
   $$ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $$
   är $x$-axeln en vågrät asymptot då $x\to\infty$. Däremot är
   $$ \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=-\infty, $$
   så det finns ingen asymptot då $x\to-\infty$.

Derivering ger
$$ f'(x)=(4x^3-x^4)e^{-x}=x^3(4-x)e^{-x}. $$
Derivatan är negativ för $x<0$, positiv för $0<x<4$ och negativ för $x>4$. Funktionen har alltså en global minpunkt $(0,0)$ och en lokal maxpunkt
$$ \left(4,\left(\frac{4}{e}\right)^4\right). $$
Något globalt största värde finns inte, eftersom $f(x)\to\infty$ då $x\to-\infty$.

Vidare är
$$ f''(x)=e^{-x}x^2(x^2-8x+12). $$
Funktionen är konvex på $(-\infty,2)$ och $(6,\infty)$ samt konkav på $(2,6)$. Punkterna med $x$-koordinaterna $2$ och $6$ är inflexionspunkter.