Uppgift 4
(a)
Lös differentialekvationen $\sqrt{1+x^2}(-y\sin x+y'\cos x)=x$ med bivillkoret $y(0)=1$.
(b)
Bestäm den allmänna lösningen till den partiella differentialekvationen $3\frac{\partial f}{\partial x}+5\frac{\partial f}{\partial y}=0$.
Hela analys · 2012-05-30
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
- a) Differentialekvationen kan skrivas
$$ \frac{d}{dx}\bigl(y\cos x\bigr)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}. $$
Efter integrering fås
$$ y\cos x=\sqrt{1+x^2}+C. $$
Bivillkoret $y(0)=1$ ger $C=0$. Alltså är
$$ y=\frac{\sqrt{1+x^2}}{\cos x}. $$
b) Inför variablerna
$$
u=5x-3y,\qquad v=y.
$$
Då gäller
$$
\frac{\partial f}{\partial x}=5\frac{\partial f}{\partial u},
\qquad
\frac{\partial f}{\partial y}=-3\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}.
$$
Insättning i ekvationen ger
$$
0=3\frac{\partial f}{\partial x}+5\frac{\partial f}{\partial y}
=15\frac{\partial f}{\partial u}+5\left(-3\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}\right)
=5\frac{\partial f}{\partial v}.
$$
Alltså är $f=g(u)$, där $g$ är en godtycklig deriverbar funktion av en variabel. I ursprungliga variabler är den allmänna lösningen
$$
f(x,y)=g(5x-3y).
$$