Uppgift 5
Bestäm största och minsta värde till funktionen $f(x,y)=x^2+y^2-2x-2y+3$ i det område som definieras av att $x^2+y^2\le25$.
Hela analys · 2012-05-30
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
- De stationära punkterna ges av
$$ \nabla f(x,y)=(2x-2,2y-2)=(0,0). $$
Den enda stationära punkten i området är alltså $(1,1)$, och
$$ f(1,1)=1. $$
På randen parametriserar vi med $x=5\cos\theta$, $y=5\sin\theta$, där $0\leq\theta\leq2\pi$. Då får vi
$$ f(5\cos\theta,5\sin\theta) =28-10\cos\theta-10\sin\theta =28-10\sqrt{2}\cos\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right). $$
Randens största respektive minsta värde är $28+10\sqrt{2}$ och $28-10\sqrt{2}$. Funktionens största värde i området är därför $28+10\sqrt{2}$ och dess minsta värde är $1$.