Uppgift 6
Beräkna dubbelintegralen
$$\iint_D\sin\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy,$$
där $D=\{(x,y)\mid 0\le y\le x,\ \pi^2\le x^2+y^2\le4\pi^2\}$.
Hela analys · 2012-05-30
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
- Med variabelbytet $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ blir området
$$ \pi\leq r\leq2\pi,\qquad 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}. $$
Därför är
$$ \iint_D\sin\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy =\int_\pi^{2\pi}r\sin r\,dr\int_0^{\pi/4}d\theta. $$
Eftersom
$$ \int r\sin r\,dr=-r\cos r+\sin r $$
fås
$$ \int_\pi^{2\pi}r\sin r\,dr=-3\pi. $$
Alltså är integralen
$$ \frac{\pi}{4}(-3\pi)=-\frac{3\pi^2}{4}. $$