Uppgift 2

Maclaurinutveckling ger
$$e^x=1+x+O(x^2)\implies e^{-x}=1-x+O(x^2),$$
$$\arctan(3x)=3x+O(x^3).$$
Det följer att
$$\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{\arctan(3x)} &=\lim_{x\to0}\frac{1+x-(1-x)+O(x^2)}{3x+O(x^3)}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{2x+O(x^2)}{3x+O(x^3)} =\lim_{x\to0}\frac{2+O(x)}{3+O(x^2)}=\frac23. \end{aligned}$$
Vi kan också använda standardgränsvärdena att lösa problemet:
$$\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{\arctan(3x)} &=\lim_{x\to0}\frac{e^{-x}(e^{2x}-1)}{\arctan(3x)}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{e^{-x}\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot2}{\frac{\arctan(3x)}{3x}\cdot3} =\frac{1\cdot1\cdot2}{1\cdot3}=\frac23. \end{aligned}$$