Uppgift 6

Inför nya variabler $u=2x-y$, $v=y$. Vi har
$$\frac{\partial f}{\partial x}=2\frac{\partial f}{\partial u},\qquad\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}$$
där $\partial u/\partial x=2$, $\partial v/\partial x=0$, $\partial u/\partial y=-1$, $\partial v/\partial y=1$. Insättningen i ekvationen ger
$$0=\frac{\partial f}{\partial x}+2\frac{\partial f}{\partial y} =2\frac{\partial f}{\partial u}+2\left(-\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}\right) =2\frac{\partial f}{\partial v}\iff\frac{\partial f}{\partial v}=0.$$
$\implies f=g(u)$ där $g$ är någon deriverbar envariabelfunktion. I ursprungliga variablerna får vi den allmänna lösningen $f(x,y)=g(2x-y)$.