Uppgift 7

De stationära punkterna ges av
$$\nabla f(x,y)=(x^2-y,-x+2y)=(0,0),$$
vilket har den entydiga lösningen $(x,y)=(\frac12,\frac14)$ innanför området, och $f(\frac12,\frac14)=-\frac1{48}$.

Randen består av fyra linjesegment:

(i) $y=0$, $0\le x\le2$: $g_1(t)=f(t,0)=\frac13t^3$ är strängt växande,
$$\max_{0\le t\le2}g_1(t)=g_1(2)=\frac83,\qquad\min_{0\le t\le2}g_1(t)=g_1(0)=0.$$
(ii) $x=2$, $0\le y\le2$: $g_2(t)=f(2,t)=t^2-2t+\frac83=(t-1)^2+\frac53\implies g_2$ har en stationär punkt i $t=1$.
$$\max_{0\le t\le2}g_2(t)=\max(g_2(0),g_2(2),g_2(1))=\max\left(\frac83,\frac53\right)=\frac83;$$
$$\min_{0\le t\le2}g_2(t)=\min(g_2(0),g_2(2),g_2(1))=\min\left(\frac83,\frac53\right)=\frac53.$$
(iii) $y=2$, $0\le x\le2$: $g_3(t)=f(t,2)=\frac13t^3-2t+4$ har en stationär punkt i $t=\sqrt2\implies$
$$\max_{0\le t\le2}g_3(t)=\max(g_3(0),g_3(2),g_3(\sqrt2))=g_3(0)=4;$$
$$\min_{0\le t\le2}g_3(t)=\min(g_3(0),g_3(2),g_3(\sqrt2))=g_3(\sqrt2)=4-\frac{4\sqrt2}3.$$
(iv) $x=0$, $0\le y\le2$: $g_4(t)=f(0,t)=t^2$ är strängt växande för $0\le t\le2\implies$
$$\max_{0\le t\le2}g_4(t)=g_4(2)=4,\qquad\min_{0\le t\le2}g_4(t)=g_4(0)=0.$$
Sammanfattningsvis ser vi att funktionens största värde är $4$ och minsta värde är $-1/48$.