Uppgift 8
Beräkna $I=\iint_D(x^2+y^2)\,dx\,dy$, $D$ är den parallellogram som har hörn i punkterna $(0,0)$, $(1,1)$, $(2,0)$ och $(3,1)$.
Hela analys · 2012-08-23
Uppgift 8
Visa lösningDölj lösning
Parallellogrammen begränsas av fyra linjer $y=0$, $y=1$, $y=x$, $y=x-2$. $I=\int_0^1\int_y^{y+2}(x^2+y^2)\,dx\,dy=6$.
Men vi behöver dela upp $D$, om vi integrerar $y$ först:
$$D_1=\{(x,y)\mid0\le x\le1,\ 0\le y\le x\},$$
$$D_2=\{(x,y)\mid1\le x\le2,\ 0\le y\le1\},$$
$$D_3=\{(x,y)\mid2\le x\le3,\ x-2\le y\le1\}.$$
$$\implies I=\left(\int_0^1\int_0^x+\int_1^2\int_0^1+\int_2^3\int_{x-2}^1\right)(x^2+y^2)\,dy\,dx=\frac13+\frac83+3=6.$$