Uppgift 1

1. Funktionen är
   $$ f(x)=\frac{x}{2}+\arctan\frac{1}{x},\qquad x\ne0. $$
   Derivering ger
   $$ f'(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{2(1+x^2)}. $$
   Funktionen är växande på $(-\infty,-1)$ och $(1,\infty)$, samt avtagande på $(-1,0)$ och $(0,1)$. Observera att den inte är avtagande på hela $[-1,1]$, eftersom $0$ inte ingår i definitionsmängden.

De ensidiga gränsvärdena vid $0$ är
$$ \lim_{x\to0^-}f(x)=-\frac{\pi}{2},\qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=\frac{\pi}{2}. $$
Vidare är
$$ \lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-\frac{x}{2}\right)=0, $$
så $y=x/2$ är en sned asymptot. De lokala extrempunkterna är
$$ \left(-1,-\frac12-\frac{\pi}{4}\right) \quad\text{och}\quad \left(1,\frac12+\frac{\pi}{4}\right), $$
där den första är en lokal maxpunkt och den andra en lokal minpunkt.