Uppgift 2
(a)
Bestäm
$$\lim_{x\to0}\frac{3-e^{x^2}-2\cos x}{x^2\sin^2 x}.$$
(b)
Har funktionen $h(x)=3-e^{x^2}-2\cos x$ en lokal extrempunkt för $x=0$?
Hela analys · 2012-12-19
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
- a) Maclaurinutvecklingarna ger
$$ e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2}+O(x^6), \qquad \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6). $$
Alltså är täljaren
$$ 3-e^{x^2}-2\cos x=-\frac{7}{12}x^4+O(x^6), $$
medan nämnaren är $x^2\sin^2x=x^4(1+O(x^2))$. Därför
$$ \lim_{x\to0}\frac{3-e^{x^2}-2\cos x}{x^2\sin^2x} =-\frac{7}{12}. $$
b) Utvecklingen visar att
$$
h(x)=-\frac{7}{12}x^4(1+O(x^2)).
$$
Alltså har $h$ en lokal maxpunkt vid $x=0$.