Uppgift 3
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen:
$$y''-2y'+2y=6x.$$
Hela analys · 2012-12-19
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
- Det karakteristiska polynomet för den homogena ekvationen är
$$ r^2-2r+2=0, $$
med rötterna $1\pm i$. Alltså är
$$ y_h(x)=e^x(A\cos x+B\sin x). $$
Eftersom högerledet är ett polynom av grad $1$ kan vi söka en partikulärlösning på formen $y_p(x)=ax+b$. Insättning ger
$$ y_p(x)=3x+3. $$
Alla lösningar är därför
$$ y(x)=e^x(A\cos x+B\sin x)+3x+3, $$
där $A$ och $B$ är godtyckliga konstanter.