Uppgift 4
Bestäm största och minsta värde för funktionen
$$F(x,y)=x^2+y^2+2x-2y+2$$
då $x^2+y^2\le1$.
Hela analys · 2012-12-19
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
- De stationära ekvationerna är
$$ F_x=2x+2=0,\qquad F_y=2y-2=0. $$
De ger punkten $(-1,1)$, som ligger utanför området $x^2+y^2\leq1$. Extremvärdena måste alltså antas på randen $x^2+y^2=1$. Sätt $x=\cos t$ och $y=\sin t$, där $0\leq t\leq2\pi$. Då blir
$$ F(\cos t,\sin t)=3+2\cos t-2\sin t =3+2\sqrt{2}\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right). $$
Alltså är största värdet $3+2\sqrt{2}$ och minsta värdet $3-2\sqrt{2}$.