Hela analys · 2013-01-18

Uppgift 1

Uppgift 1

Betrakta funktionen
$$f(x)=e^x(x^3-2x^2-x+4)-5.$$

(a)

Undersök funktionen med avseende på lokala extrempunkter och asymptoter. Rita grafen! Anmärkning: $f(-3)=-38e^{-3}-5\approx-6.9$

(b)

Hur många nollställen har funktionen $f$? Motivera ditt svar!
Ange även för varje nollställe var det ungefär ligger. Gör detta genom att ange ett intervall av längd 1 i vilket nollstället säkert finns.

Visa lösningDölj lösning

a) Derivering ger
$$ f'(x)=e^x(x^3+x^2-5x+3)=e^x(x+3)(x-1)^2. $$
Funktionen är avtagande på $(-\infty,-3)$ och växande på $(-3,\infty)$; $x=1$ är en terrasspunkt. Den enda lokala extrempunkten är därför minpunkten
$$ \left(-3,-38e^{-3}-5\right). $$
Vidare gäller
$$ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-5, \qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty. $$
Alltså är $y=-5$ en vågrät asymptot då $x\to-\infty$. Det finns ingen asymptot då $x\to\infty$.

b) Eftersom $f$ är avtagande för $x<-3$ och har gränsvärdet $-5$ då $x\to-\infty$, finns inget nollställe där. Efter minpunkten vid $x=-3$ är $f$ växande och går mot $\infty$, så det finns exakt ett nollställe. Eftersom
$$ f(0)=-1<0,\qquad f(1)=2e-5>0, $$
ligger nollstället i intervallet $(0,1)$.