Uppgift 2
Beräkna den generaliserade integralen
$$\int_0^\infty\frac{2x-4}{(x^2+1)(2x+1)}\,dx.$$
Hela analys · 2013-01-18
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
- Vi partialbråksuppdelar:
$$ \frac{2x-4}{(x^2+1)(2x+1)} =\frac{2x}{x^2+1}-\frac{2}{x+\frac12}. $$
En primitiv funktion är därför
$$ \ln(x^2+1)-2\ln\left\lvert x+\frac12\right\rvert =\ln\frac{x^2+1}{\left(x+\frac12\right)^2}. $$
Alltså
$$ \begin{aligned} \int_0^\infty\frac{2x-4}{(x^2+1)(2x+1)}\,dx &=\lim_{T\to\infty}\left[\ln\frac{x^2+1}{\left(x+\frac12\right)^2}\right]_0^T\\ &=-\ln4=-2\ln2. \end{aligned} $$