Uppgift 3
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen:
$$y''+y'-2y=21e^x.$$
Hela analys · 2013-01-18
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
- Det karakteristiska polynomet för den homogena ekvationen är
$$ r^2+r-2=(r-1)(r+2), $$
så
$$ y_h(x)=Ae^x+Be^{-2x}. $$
Eftersom $e^x$ redan ingår i den homogena lösningen använder vi ansatsen $y_p(x)=axe^x$. Insättning ger $a=7$, alltså
$$ y_p(x)=7xe^x. $$
Alla lösningar är därmed
$$ y(x)=Ae^x+Be^{-2x}+7xe^x, $$
där $A$ och $B$ är godtyckliga konstanter.