Hela analys · 2013-01-18

Uppgift 4

Annemarie Luger Partiella differentialekvationer Lösning

Uppgift 4

Betrakta den partiella differentialekvationen
$$\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=2x.$$
Bestäm den allmänna lösningen i området $x>0$, till exempel genom att införa de nya variablerna
$$\begin{aligned}s&=x+y\\ t&=x^2.\end{aligned}$$
Ange speciellt denna lösning som uppfyller $u(x,x)=(x+1)^2$.

Visa lösningDölj lösning

Sätt
$$ s=x+y,\qquad t=x^2, $$
och skriv $u(x,y)=\widetilde u(s,t)$. Kedjeregeln ger
$$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial\widetilde u}{\partial s}+2x\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial\widetilde u}{\partial s}. $$
Differentialekvationen blir alltså
$$ \frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=1, $$
med den allmänna lösningen
$$ \widetilde u(s,t)=t+g(s). $$
I de ursprungliga variablerna är därför
$$ u(x,y)=x^2+g(x+y). $$
Villkoret $u(x,x)=(x+1)^2$ ger $g(2x)=2x+1$, alltså $g(z)=z+1$. Den efterfrågade lösningen är
$$ u(x,y)=x^2+x+y+1. $$