Uppgift 6
Betrakta grafen till funktionen
$$g(x)=\frac1x,\qquad x\ne0.$$
Punkten $(3,-1)$ ligger på två tangenter till grafen. Bestäm tangenternas ekvationer och skissa funktionsgrafen samt tangenterna.
Hela analys · 2013-01-18
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
- Låt $T=(a,1/a)$ vara en punkt på grafen till $g(x)=1/x$. Tangentens lutning är $-1/a^2$, så tangentekvationen är
$$ y-\frac1a=-\frac{1}{a^2}(x-a). $$
Kravet att $P=(3,-1)$ ligger på tangenten ger
$$ -\frac{1}{a^2}=\frac{-1-1/a}{3-a}. $$
Detta ger $a=-3$ eller $a=1$. De två tangenterna är alltså
$$ y=-x+2 \qquad\text{och}\qquad y=-\frac{x}{9}-\frac{2}{3}. $$