Hela analys · 2013-05-18

Uppgift 6

Det gäller (du behöver inte verifiera detta!) att
$$\int_0^1\frac{\ln(x+1)}{x^2+1}\,dx=\frac{\pi}{8}\ln 2.$$
Bestäm integralerna
$$\int_{-1}^1\frac{\ln(\lvert x\rvert+1)}{x^2+1}\,dx.$$
och
$$\int_{-1}^1\frac{x\ln(\lvert x\rvert+1)}{x^2+1}\,dx.$$
OBS: Det behövs inga beräkningar, men det krävs en ordentlig motivering!

Visa lösningDölj lösning

Den relevanta grenen är $y=\sqrt{x^2-1}$. Rationalisering ger $$\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2-1}-x)=\lim_{x\to\infty}\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x}=0,$$ så $y=x$ är asymptot.