Uppgift 4

Vi börjar med att bestämma stationära punkter:
$$\left.\begin{aligned}g_x'(x,y)&=2x-y=0\\g_y'(x,y)&=-x+2y=0\end{aligned}\right\}\implies x=y=0.$$
Det finns alltså inga stationära punkter i området $1\le x^2+y^2\le2$.

Nu undersöker vi randen, som består av $2$ cirklar:

För $x^2+y^2=1$ använder vi oss av parametriseringen $x=\cos t$ och $y=\sin t$ då $t\in[0,2\pi]$.

Vi får: $g(\cos t,\sin t)=\dots=1-\frac12\sin2t$. Största värdet på denna del av randen är $\frac32$, minsta värdet är $\frac12$.

För $x^2+y^2=2$ får vi: $g(\sqrt2\cos t,\sqrt2\sin t)=\dots=2-\sin2t$. Största värdet på denna del av randen är $3$, minsta värdet är $1$. Sammanlagt blir det

Max: $3$ och Min: $\frac12$.