Uppgift 6

Eftersom $\sin x\to0$ då $x\to0$ kan vi använda oss av standardutvecklingarna för exponentialfunktionen och $\sin x$:
$$\begin{aligned} F(x)&=1+\sin x+\frac{\sin^2x}{2!}+\frac{\sin^3x}{3!}+\sin^4x\cdot B_1(x)\\ &=1+\left(x-\frac{x^3}{3!}+x^5B_2(x)\right)+\frac12(x-x^3B_3(x))^2+\frac16(x-x^3B_3(x))^3+x^4B_4(x)\\ &=1+x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^2}2+\frac16x^3+x^4B_5(x)\\ &=1+x+\frac{x^2}2+x^4B_5(x), \end{aligned}$$
där alla $B_i(x)$ är begränsade då $x\to0$.

Maclaurinpolynomet av ordning $3$ till funktionen $F(x)=e^{\sin x}$ är därmed $p_3(x)=1+x+\frac{x^2}2$.