Uppgift 3
Bestäm största och minsta värde av funktionen
$$g(x,y)=(x^2-1)(2y^2+x^2y-4y)\qquad\text{då}\qquad\lvert x\rvert\le1\text{ och }0\le y\le2.$$
Hela analys · 2014-01-13
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
- I rektangelns inre ges de stationära punkterna av
$$ g_x=2xy(2x^2+2y-5)=0, \qquad g_y=(x^2-1)(x^2+4y-4)=0. $$
Detta ger den enda inre stationära punkten $(0,1)$, där $g(0,1)=2$. På randen är $g=0$ längs $x=\pm1$ och $y=0$. För randen $y=2$ får vi
$$ h(x)=g(x,2)=2(x^4-x^2), \qquad h'(x)=4x(2x^2-1). $$
Här är $h(0)=0$ och
$$ h\left(\pm\frac{1}{\sqrt2}\right)=-\frac12. $$
Alltså är funktionens största värde $2$ och dess minsta värde $-1/2$.