Uppgift 5
Betrakta funktionen
$$h(x,y)=x^2-y^2-3x.$$
(a)
Bestäm tangentplanet till $h$ i punkten $(x_0,y_0)=(2,1)$.
(b)
Bestäm alla punkter $(x_0,y_0)$ med egenskapen att tangentplanet i denna punkt innehåller både $(10,8,-21)$ och $(0,0,9)$.
Hela analys · 2014-01-13
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
- Tangentplanet till $h$ i $(x_0,y_0)$ ges av
$$ z=h(x_0,y_0)+(2x_0-3)(x-x_0)-2y_0(y-y_0). $$
a) I punkten $(2,1)$ fås
$$
z=-3+(x-2)-2(y-1),
$$
alltså
$$
x-2y-z=3.
$$
b) Tangentplanet kan skrivas
$$
(2x_0-3)x-2y_0y-z=x_0^2-y_0^2.
$$
Villkoret att båda givna punkter ligger i planet ger
$$
10(2x_0-3)-16y_0+21=x_0^2-y_0^2,
\qquad
-9=x_0^2-y_0^2.
$$
Därav följer $x_0=4y_0/5$, och lösningarna är
$$
(x_0,y_0)=(4,5)
\quad\text{eller}\quad
(x_0,y_0)=(-4,-5).
$$