Hela analys · 2014-01-13

Uppgift 6

Hela tentan

Uppgift 6

Betrakta funktionen $g(x)=\ln(x+1)$.

(a)

Visa olikheten
$$\ln(x+1)\le x-\frac12x^2+\frac13x^3,\qquad\text{då }x>-1.$$

(b)

Visa att Maclaurinpolynomet till $g$ av ordning 3 är $p_3(x)=x-\frac12x^2+\frac13x^3$.

(c)

I var och en av de följande bilderna ser du grafen till funktionen $g(x)=\ln(x+1)$ (heldragen) och grafen till ett polynom (sträckad).
I vilken bild syns graferna till $g$ samt $p_3$? Motivera ditt svar, dvs förklara (med hjälp av (a) och (b)) varför de andra bilderna inte kan visa graferna till $g$ och $p_3$!

Four panels labeled A through D compare a solid blue logarithmic curve with dashed magenta cubic curves.

Visa lösningDölj lösning

a) Sätt
$$ h(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\ln(x+1). $$
För $x>-1$ gäller
$$ h'(x)=\frac{x^3}{x+1}. $$
Alltså avtar $h$ på $(-1,0)$ och växer på $(0,\infty)$, så $h(x)\geq h(0)=0$. Därmed
$$ \ln(x+1)\leq x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}. $$

b) Maclaurinpolynomet av ordning $3$ är
$$ p_3(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}. $$

c) Av a) följer att $p_3(x)\geq\ln(x+1)$ för $x>-1$, och graferna tangerar varandra i $x=0$. Alltså är rätt bild A.