Uppgift 2
Beräkna dubbelintegralen
$$\iint_D\frac{y}{x^2+y^2+1}\,dx\,dy$$
där $D$ är området $\{(x,y)\mid x^2+y^2\le3,\ y\ge0\}$.
Hela analys · 2014-02-15
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
- Med polära koordinater $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$ beskrivs området av
$$ 0\leq r\leq\sqrt3,\qquad 0\leq\varphi\leq\pi. $$
Alltså
$$ \begin{aligned} \iint_D\frac{y}{x^2+y^2+1}\,dx\,dy &=\int_0^{\sqrt3}\int_0^\pi \frac{r^2\sin\varphi}{r^2+1}\,d\varphi\,dr\\ &=2\int_0^{\sqrt3}\left(1-\frac{1}{r^2+1}\right)\,dr\\ &=2\left(\sqrt3-\frac{\pi}{3}\right). \end{aligned} $$