Uppgift 4

4. a) Maclaurinutvecklingarna ger
   $$ xe^{x^5}-x=x^6+O(x^{11}), $$
   $$ x-\sin x=\frac{x^3}{6}+O(x^5), \qquad x-\arctan x=\frac{x^3}{3}+O(x^5). $$
   Alltså
   $$ \lim_{x\to0}\frac{xe^{x^5}-x}{(x-\sin x)(x-\arctan x)} =\frac{1}{(1/6)(1/3)}=18. $$

b) Vi skriver
$$ \left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n =\left(1+\frac{2}{n-1}\right)^{n-1} \left(1+\frac{2}{n-1}\right). $$
Därför är
$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n=e^2. $$