Uppgift 5
Lös differentialekvationen
$$\frac{\partial f}{\partial x}+2x\frac{\partial f}{\partial y}=2x,\qquad f(0,y)=e^y$$
t.ex. genom att införa de nya variablerna $s=x$ och $t=y-x^2$.
Hela analys · 2014-02-15
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
- Sätt
$$ s=x,\qquad t=y-x^2, $$
och skriv $\widetilde f(s,t)=f(x,y)$. Kedjeregeln ger
$$ \frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial\widetilde f}{\partial s} -2x\frac{\partial\widetilde f}{\partial t}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial\widetilde f}{\partial t}. $$
Differentialekvationen blir
$$ \frac{\partial\widetilde f}{\partial s}=2s, $$
så
$$ \widetilde f(s,t)=s^2+h(t). $$
I de ursprungliga variablerna är
$$ f(x,y)=x^2+h(y-x^2). $$
Villkoret $f(0,y)=e^y$ ger $h(y)=e^y$. Alltså är
$$ f(x,y)=x^2+e^{y-x^2}. $$