Hela analys · 2014-08-22
Undersök om de följande gränsvärdena existerar och beräkna dem i så fall.
$\lim_{x\to1}\frac{x^2+x-2}{x^2-3x+2}$
$\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+2}\right)$
$\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+2}\right)$
$\lim_{x\to0}\cos\left(\sin\frac{1}{x^2}\cdot\sin x\right)$
a) Faktorisering ger
$$\lim_{x\to1}\frac{x^2+x-2}{x^2-3x+2}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x-2)}=-3.$$
b) Genom att konjugera får vi
$$\begin{aligned}\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+2}\right)&=\lim_{x\to+\infty}\frac{x-1}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2+2}}\\&=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac1x}{\sqrt{1+\frac1x+\frac1{x^2}}+\sqrt{1+\frac2{x^2}}}=\frac12.\end{aligned}$$
c) Samma omskrivning ger
$$\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+2}\right)=-\frac12,$$
eftersom $\sqrt{x^2}=-x$ då $x<0$.
d) Funktionen $\sin(1/x^2)$ är begränsad och $\sin x\to0$ då $x\to0$. Därför är
$$\sin\left(\frac1{x^2}\right)\sin x\to0.$$
Kontinuiteten hos cosinus ger således
$$\lim_{x\to0}\cos\left(\sin\left(\frac1{x^2}\right)\sin x\right)=\cos0=1.$$