Uppgift 3

Vi söker först stationära punkter i cirkelskivans inre. Partiella derivator är

$\frac{\partial h}{\partial x}(x,y)=e^{x^2+y^2}\left(2x+(x^2-y^2)2x\right)$

och

$\frac{\partial h}{\partial y}(x,y)=e^{x^2+y^2}\left(-2y+(x^2-y^2)2y\right).$

De ger ekvationerna

$$x\left(1+(x^2-y^2)\right)=0,\qquad y\left(-1+(x^2-y^2)\right)=0.$$

Om $x=0$, ger den andra ekvationen $y=0$. Om i stället $1+(x^2-y^2)=0$, ger den andra ekvationen åter $y=0$, vilket skulle medföra $1+x^2=0$. Detta är omöjligt. Den enda stationära punkten är alltså $(0,0)$, där $h(0,0)=0$.

På randen parametriserar vi cirkeln med $x(t)=2\cos t$ och $y(t)=2\sin t$, där $t\in[0,2\pi)$. Då får vi

$$h(x(t),y(t))=4(\cos^2t-\sin^2t)e^4=4e^4\cos(2t).$$

Det största randvärdet är $4e^4$. Eftersom det är större än värdet i den enda inre stationära punkten är svaret

$$\max_S h=4e^4.$$