Uppgift 4

Vi beräknar först en primitiv funktion genom partiell integration:

$$\begin{aligned}\int\frac{\ln x}{(x+1)^2}\,dx&=-\frac{\ln x}{x+1}+\int\frac1x\cdot\frac1{x+1}\,dx\\&=-\frac{\ln x}{x+1}+\int\left(\frac1x-\frac1{x+1}\right)\,dx\\&=\frac{x\ln x}{x+1}-\ln(x+1).\end{aligned}$$

Alltså är

$$\begin{aligned}\int_0^1\frac{\ln x}{(x+1)^2}\,dx&=\lim_{\varepsilon\to0^+}\left[\frac{x\ln x}{x+1}-\ln(x+1)\right]_{\varepsilon}^1\\&=-\ln2.\end{aligned}$$